世界杯：玩竞猜不懂点数学知识就危险了
【来源】校苑数模（许兴华数学/选编）
两场意外的比分是不是让你坐上了过山车，参与竞猜的过程是这样的：俄罗斯对沙特，90分钟的时候，猜3:0的觉得稳胜了，开始庆祝；谁知道91分的时候比分变成4:0，猜对的人们开始狂欢，从大概率上来讲基本是这个比分了，谁知道94分钟的时候又将比分改写成5:0，猜4:0的人们从狂欢跌到了低谷。
埃及对战乌拉圭，在89分钟的时候基本认为是0:0平局了，竞猜平局稳操胜券，谁知在90分钟的时候让所有人傻了眼，又是最后快结束的时间改写了比分。跌宕的比分你还敢玩竞猜吗？下面让我们从一个故事开始说起，讲讲竞猜中的数学秘密。
当你遇到下面的情况一定要小心了。
小陈是一位铁杆球迷，业余时间基本上都与球赛为伍，世界足坛没有他不了解的事情，平时看球之余还喜欢买两注彩票图个乐呵。这一天，他突然接到了 一封神秘的邮件：亲爱的球迷，我们知道您是怀疑论者，凡事不会轻易相信，但我们确实已经设计出了一套奇妙的数学公式，可以绝对准确地预测足球比赛结果。今 天晚上，世界杯欧洲区预选赛继续进行，威尔士将在主场迎战格鲁吉亚，我们预测威尔士不会取胜，两队将战成平局。
小陈看到这封邮件之后是一脸的不屑，把它当成垃圾邮件随手删掉了。可是第二天一看结果吓了一跳，威尔士果然和格鲁吉亚战平，最终的 比分定格在1-1。正在小陈满腹狐疑的时候，马上又收到了第二封邮件：亲爱的球迷，您是否还记得，昨晚的欧洲区世预赛，我们曾事先准确地预报了平局冷门。 今天白俄罗斯主场对阵卢森堡，我们的预测是，两队将以平局和气收场。
我滴个乖乖，威尔士是欧洲杯上的黑马杀入四强，但在主场却被格鲁吉亚逼平；卢森堡可是欧洲不入流的鱼腩部队啊，在预选赛历史上几乎没有赢过球， 输球倒是家常便饭，在客场反倒收获了一场平局。这蒙的也太准了吧！长话短说，神秘邮件成功预测了连续五场比赛的结果，连加时取胜都猜得出来，难道真得有预测比赛的数学公式？还是有内幕消息？小陈越想越觉得可怕，可是马上又按捺不住兴奋的心情，这要是用来赌球，有点邪恶哈，要是用来买足球彩票，那不就赚大发了！正在他浮想联翩捉摸不定的时候，再一次收到了邮件，这次不做预测改做销售了，需要交纳入会费1000元，才能继续收到推荐。小陈不假思索，马上给对方指定账号打了一千，结果大家应该已经想到了，从此他再也没有收到对方的邮件，那个神秘人彻底在网络上消失了……
这时小陈还不相信他被骗了，于是找到另一位球迷朋友小张，小张说他也收到了那个邮件，但是在第三场就推错了，以后就没有收到过，俩人合计了半天 也没想出个所以然。这种“神秘事件”应该怎么解释呢？其实用概率很好解释，诈骗分子先在互联网上寻找一批目标客户，然后把这些人等分成三份，第一份推荐 “胜”、第二份推荐“平”、另一份推荐“负”，比方说第一场打平了，推荐胜或负的都不管，单把第二份这些人挑出来再分成三份，如此循环往复，只要选取的样 本足够大，就会有足够多的人上钩。理论上说，每243个人里面就能找到一个像小陈这样的“幸运儿”，你说他是幸运呢还是不幸呢？小陈也怨不得别人，谁让自 己没学好概率呢，虽然这种离奇的事件在他身上真实地发生了，但这并不代表事情的真相，1/243并不等同于100%。同样的道理，某个事件的预期概率很 高，并不代表它一定会发生，只能说明发生的可能性很大，概率就是随机事件发生的可能性。
现在的世界比过去复杂得多，其中有大量不确定性，是否理解概率，直接决定一个人的开化程度。像上面故事的主人公小陈，就是把个体概率和总体概率 搞混了，与之相似，还有一种谬误是不理解随机事件的概率的独立性。有个笑话说，一个人带上炸弹上了飞机，当然让人家查出来了，结果这位老兄义正词严地说 道：你想想看，几乎一架飞机上不可能有两个人同时带炸弹，我带上了恐怖分子就不会带，这样我们就安全了！再比如，战场上的士兵有个说法，如果战斗中炸弹在 你身边爆炸，你应该迅速跳进那个弹坑，因为两颗炸弹不大可能打到同一个地方。好笑吧，先别顾着笑，因为你们也在犯同样的错误。
话说有位仁兄买七位数，选号选的是七个9，旁边有人就笑了，这种号码怎么可能打的出来？不过仔细想一想，你们选的号码概率不都一样吗，无论是七 个9还是XXX，出现的概率都是1/107，凭什么你选的就能开出来呢？当然乐透型彩票纯粹是数字游戏，足球彩票完全是有规律可循的呀，很多人都在统计盘路、寻找套路，其实这些“路”根本不存在，世界上本没有“路”，看得人多了，也就成了“路”。上一场比赛和这一场比赛没有必然的联系，不会因为前面输了这 场就一定赢，也不会因为上一场平了这场就不会平，随机事件相互之间是没有影响的，所谓“套路”不过是那些信奉阴谋论的彩民，在头脑中凭空臆想出来的规律罢 了。其实你会发现，这些套路好像每次都不太一样，总会变着花样捉弄你。
概率和赔率到底有什么关系呢？赔率的本质是概率，掌握了各种随机事件的概率，就等于 得到了赔率。在统计学中，“泊松分布”用于描述独立分布的小概率事件，例如每分钟有多少辆公交车进站等等，而足球比赛进几个球，完全属于离散的随机事件， 因此泊松分布被认为是用于描述足球运动最贴切的数学语言。泊松分布公式是这样的：
泊松分布公式
其中是期望进球数（进球数的数学期望），也可以理解为进球率。只要知道一支球队的期望进球数是多少，即可利用泊松公式推算1球，2球，3 球，~~~等等事件的概率分布，继而可以计算出比分、半全场以及胜平负的概率，最后只要确定各种玩法的赔付率，即可转化成赔率。除了以上竞彩玩法，利用泊 松公式计算得出的各种概率分布，也可以开出让球盘，即大家所熟知的亚洲盘和大小球，欧洲赔率和亚洲盘口之间，也可以通过概率这个桥梁互相转换。关于这个话 题以后可以详细说说。
概率也是庄家开盘首先要考虑的因素，设置合理的参数可以得到合理的概率，最终开出来的赔率也是合理的。而合理的赔率可以使庄家利益达到最大化，赔率是用 来迎合彩民投注的，只有实际概率与投注比例相吻合，庄家才能够稳收水钱。
在体育比赛博彩的博彩中，庄家其实不是直接和玩家赌钱的。庄家乃是让玩家之间赌钱, 自己计算双方下注和赔率，并通过并巧妙的方法赚钱。我简要介绍这些方法中非常巧妙的, 也是和金融息息相关的一个手段, 叫做对冲。
我们以赌马为例。假设有两匹马 A 和 B, 第一匹马赢得概率是 0.6, 第二匹是 0.4, 有两个赌徒, 第一个买A赢, 第二个买B赢, 来说, 两人如果不带庄家面对面各自下注的话, 假设第一个人出 x 元, 第二个人出 y 元(单位都是美元, 下同)。则第一个人赢的钱的期望是 0.6*y – 0.4*x, 第二个是 0.4*x – 0.6y。很自然的, 如果要游戏公平的话, 两个人中, x 应该取 60, y 取 40。这样, 两个人赢钱的数学期望都是 0, 这是对两个人都公平的游戏。
这时候, 庄家出现了, 这两个人, 现在都向庄家买马。庄家想要赚钱, 最重要的一条就是旱涝保收。所谓的旱涝保收, 就是说, 不管A, B 两匹马怎么跑, 庄家总能赚钱。怎么做呢, 这就是庄家牛B 的地方了。
我们假设A 马和 B 马上, 各自共有 100 块钱 和 200块钱的赌注。那么, 庄家一共收到了 300 块钱的赌注。 自然的, 庄家想自己抽水2成, 剩下的 240 块钱作为奖金回报给赌徒。如果 A 赢了, 对于买 A 马赢了的人, 庄家就给你240块。同样, 买B的也一样。请注意, 这时候, 庄家不关心 A 还是 B 赢的概率的, 这就是关键。
那么, 为什么有人赌呢, 因为对于投 A 赢的人来说, A 赢了, 他能赢 140 块钱; 对于 B 来说, B 赢了, 他能得到 40 块钱。那么, 对于投 A 的来说, 只要在他心目中, A 赢的概率超过 5/12, 他就愿意赌博 (他得到的钱的期望是 0 + 5/12 * 240 = 100 = 他的投资), 因为他赢钱的数学期望超过他的投资了。 对于下注到 B 的赌徒也是, 在他们心目中, 只要 B 赢的概率超过 10/12 了, 他就愿意了 (期望 = 0 + 10/12 * 240 = 200)。 庄家定出的这个回报, 对于买 A, 就是投 100 最后还返还 140, 所以有叫做 1 赔 1.4; 同样, 对于 B, 叫做 1 赔 0.4。这就是赔率的通俗定义。
可以看到, 庄家加入之前, 两个人赌钱的时候, 一匹马能赢的概率, 是一个变量, 这个量, 由两个玩家之间的协商。而庄家来了之后, 一匹马能不能赢, 就看赔率。不同的赔率其实对应了不同的概率。至于您相信哪种概率, 就是你自己的事情了。 所以, 你完全不觉得自己的数学期望是小于0的。事实上, 你总认为你猜的概率是真实的概率, 继而相信自己下注的数学期望大于0, 这时候, 您才会去充满自信的赌球的。
可是上面说的这些, 需要一个前提, 就是庄家知道投A 和投B 的人的比例。否则的话, 庄家就有可能赔钱。比方说, 庄家开出了 A 1 赔 1.4, 结果来了一个大玩家, 一下子买了1000美元的 A。这时候, 赌资总共是 1300 美元。这 1300 美元, 庄家可就不一定稳赚了, 因为假如 A 赢了, A 上的赌资一共是 1100 美元, 庄家就要赔 1100*1.4 > 1540 美元。而庄家一共才收了 1300 美元的赌资。
庄家是资本家, 他不会仔细研究 A 赢的概率(其实也会, 但是不会依赖于这个概率, 我下面有讲), 看看自己以多大的概率输掉这个 1540 美元, 而是立即采取补救措施, 消解自己的风险, 这个风险消解, 就叫做对冲。没错, 就是对冲基金的那个对冲。
一般来说, 庄家有两种做法。第一种是调整赔率法。庄家赔钱的本质, 是因为 B 上现在没有足够的赌注, 来补偿 A 上的赔率。那么, 庄家就调整 A 的赔率, 让 A 赔的少一点, B 多一点。这样, 这个杠杆就会向 B 倾斜。(对于已经买了的, 赔率照旧, 这个只对新的玩家有效)。这样, 庄家就能利用这个杠杆, 让自己的风险得到对冲。庄家也能拒绝那个买 1000 美元 A 的大玩家, 这样让整个赌注的比例得到控制。 但是这些方法不能搞太多的, 因为一个博彩公司老是调节赔率, 或者老是拒绝客户, 这个博彩公司就离倒台不远了。
所以, 博彩公司采用另外一种方法: 自己也买。比如, 博彩公司知道 A 上面赌注太多了, 赔率又太高, 一旦 A 赢了, 自己要把内裤的输掉的, 所以, 他也跑到市场上, 找到另外一下博彩公司, 也买A。一般来说, 博彩公司之间的赔率相差不大。这样, 就算 A 赢了, 博彩公司也不怕, 因为他可以从别人博彩公司赚一笔, 对冲掉自己为了 A 要付出的风险。
正是因为博彩公司采用了其实更加复杂的赔率的计算方法和巧妙的对冲方法, 才能保证赚钱。不过, 要搞这两个, 一要有很多现金随时调动, 二要很准确的初始赔率的设置(需要赌马专家和数学家一起估计), 所以, 在美剧里面, 不是大资本家和数学家在搞, 就是犯罪分子绑架数学家在搞.
总之, 庄家赢钱, 不是简单的数学期望结果, 而是复杂的赔率方法和巧妙的对冲操作的结果。
这些数学原理你看懂了吗？欢迎给小编留言。
（部分参考：高峰 新彩要闻）